Bits zum bitteren Ende.
Binär, Hexadezimal, Zweierkomplement, KiB gegen kB, Downloadzeiten und Speicherbedarf. Hier rechnest du vom einzelnen Bit bis zur Downloadzeit. Und erfährst, warum die neue Festplatte beim Auspacken nicht plötzlich kleiner geworden ist.
Von Null Plan zu Null und Eins.
Zehn Stufen, jede trainiert genau eine Fähigkeit. Erst erklärt, dann vorgerechnet, dann rechnest du. Die ersten drei Aufgaben jeder Stufe kommen mit Hinweis. Eine Stufe gilt als gemeistert, wenn du 8 der letzten 10 Aufgaben ohne Hilfe richtig hast. Erst dann geht die nächste Tür auf. Wer schummelt, betrügt nur sein zukünftiges Prüfungs-Ich.
Stufe wird geladen …
Lektion
Bereit? Dann weg mit dem Spickzettel.
Sobald du startest, wird die Lektion ausgeblendet. Du kannst jederzeit zurück, die offene Aufgabe verfällt dann aber.
Alles zum Nachlesen. Bit für Bit.
Zehn Kapitel mit Erklärungen, Rechenwegen, interaktiven Laboren und einem Kurz-Check am Ende. Die Labore rechnen für dich, darum sind sie im Sprint und in der Prüfung gesperrt. Neu hier? Dann fang im Lernpfad an.
Stellenwertsysteme und Bits
Warum 473 eigentlich eine Rechenaufgabe ist und was das mit Computern zu tun hat.
Die 4 in 473 steht für 400. Dieselbe 4 in 347 ist nur 40 wert. Es kommt also darauf an, wo die Ziffer sitzt. Wie beim Firmenparkplatz: derselbe Golf, aber auf dem Chefplatz ist er plötzlich ein Problem. Bei Bits gilt dieselbe Idee, nur verdoppelt sich der Stellenwert.
Im Dezimalsystem hat jede Stelle einen Wert, der eine Zehnerpotenz ist. 473 bedeutet 4 · 100 + 7 · 10 + 3 · 1. Die Basis ist 10, deshalb gibt es die Ziffern 0 bis 9. Jedes Stellenwertsystem funktioniert nach demselben Prinzip, nur mit einer anderen Basis:
| System | Basis | Ziffern | Stellenwerte (rechts → links) | Schreibweisen |
|---|---|---|---|---|
| Dual / Binär | 2 | 0, 1 | 1, 2, 4, 8, 16, 32 … | 1011₂ · 0b1011 |
| Oktal | 8 | 0 – 7 | 1, 8, 64, 512 … | 17₈ · 0o17 · 017 |
| Dezimal | 10 | 0 – 9 | 1, 10, 100, 1000 … | 42₁₀ · 42 |
| Hexadezimal | 16 | 0 – 9, A – F | 1, 16, 256, 4096 … | 2F₁₆ · 0x2F · 2Fh |
Bit, Nibble, Byte
- Bit (binary digit): kleinste Informationseinheit, genau zwei Zustände (0 oder 1, aus oder an).
- Nibble (Halbbyte): 4 Bit, also genau eine Hex-Ziffer.
- Byte: 8 Bit. Kleinste adressierbare Einheit im Arbeitsspeicher üblicher Rechner.
- MSB / LSB: höchstwertiges Bit (ganz links) und niederwertigstes Bit (ganz rechts).
Die wichtigste Formel des Moduls
Mit n Bit lassen sich 2ⁿ verschiedene Werte darstellen. Ohne Vorzeichen reichen sie von 0 bis 2ⁿ − 1.
Umgekehrt: Für N Zustände brauchst du das kleinste n mit 2ⁿ ≥ N. Für 26 Buchstaben reichen 4 Bit (16) nicht, 5 Bit (32) schon.
Zweierpotenzen, die du auswendig können solltest
| Potenz | Wert | Wo es dir begegnet |
|---|---|---|
| 2⁰ … 2⁷ | 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 | Stellenwerte eines Bytes |
| 2⁸ | 256 | Werte pro Byte (0 – 255), IPv4-Oktett |
| 2¹⁰ | 1.024 | 1 KiB in Byte |
| 2¹⁶ | 65.536 | Anzahl TCP/UDP-Ports (0 – 65.535) |
| 2²⁰ | 1.048.576 | 1 MiB in Byte |
| 2²⁴ | 16.777.216 | Farben bei 24 Bit Farbtiefe (True Color) |
| 2³⁰ | 1.073.741.824 | 1 GiB in Byte |
| 2³² | 4.294.967.296 | Anzahl IPv4-Adressen |
Binär ↔ Dezimal
Ein Weg hin, zwei Wege zurück. Alle drei musst du im Schlaf können.
Im Mitschnitt steht 1011 und du brauchst eine Zahl, mit der du weiterrechnen kannst. Schreib 8, 4, 2 und 1 darüber. Die Null hat hier endlich mal die dankbare Aufgabe, nichts beizutragen.
Binär → Dezimal: Stellenwerte addieren
Schreib die Stellenwerte über die Bits. Steht unter einem Wert eine 1, nimmst du ihn mit. Steht dort eine 0, bleibt er liegen. So rechnest du 1011 0110₂:
Dezimal → Binär, Weg A: Subtraktionsmethode
Geh die Stellenwerte von groß nach klein durch. Passt der Stellenwert in den Rest, schreib eine 1 und zieh ihn ab, sonst eine 0. Beispiel 182:
Dezimal → Binär, Weg B: Restwertmethode
Teile immer wieder ganzzahlig durch 2 und notiere den Rest. Das Ergebnis liest du von unten nach oben:
Abkürzungen für Profis
- Gerade Zahl ⇔ letztes Bit 0.
- 2ⁿ − 1 sind n Einsen: 255 = 1111 1111, 63 = 11 1111.
- 2ⁿ ist eine 1 mit n Nullen: 64 = 100 0000.
- Ein Bit nach links schieben verdoppelt den Wert.
Typische Maskenwerte (Subnetting!)
128 = 1000 0000
192 = 1100 0000
224 = 1110 0000
240 = 1111 0000
248 = 1111 1000
252 = 1111 1100
254 = 1111 1110
255 = 1111 1111
Hexadezimal und Oktal
Die Kurzschrift für Bitmuster. Vier Bit werden zu einem Zeichen.
Du willst ein Byte aus einem Mitschnitt abschreiben. B6 ist schneller getippt als 10110110. Und die Chance sinkt, dass du zum dritten Mal dieselbe Null zählst.
Hexadezimal hat die Basis 16. Weil es nur zehn Ziffern gibt, stehen A bis F für 10 bis 15. Der große Vorteil: Eine Hex-Ziffer entspricht genau 4 Bit (einem Nibble), ein Byte sind also genau zwei Hex-Ziffern. Darum lassen sich lange Bitmuster in Hex viel kürzer und fehlerärmer schreiben.
| Hex | Dez | Binär | Hex | Dez | Binär |
|---|
Binär ↔ Hex: in Vierergruppen denken
Teile die Bits von rechts in Vierergruppen, fülle links bei Bedarf mit Nullen auf und übersetze jede Gruppe einzeln. Rückwärts genauso: Jede Hex-Ziffer wird zu vier Bit.
Hex ↔ Dezimal
Wo dir Hex begegnet
- MAC-Adressen: 48 Bit = 12 Hex-Ziffern, z. B. 3C:52:82:1F:A0:07
- IPv6: 128 Bit = 32 Hex-Ziffern in 8 Blöcken
- Farben in HTML/CSS: #RRGGBB, z. B. #FF8000 = Rot 255, Grün 128, Blau 0
- Speicheradressen und Fehlercodes, z. B. 0x80070005
- Unicode: U+20AC ist das Euro-Zeichen
Oktal: drei Bit pro Ziffer
Basis 8, Ziffern 0 bis 7. Heute fast nur noch bei Linux-Dateirechten wichtig. Jede Ziffer steht für die drei Bits r (4), w (2) und x (1).
chmod 754 datei
7 = 111 = rwx (Besitzer)
5 = 101 = r-x (Gruppe)
4 = 100 = r-- (Andere)
Rechnen mit Binärzahlen und Logik
Wie die CPU addiert und warum AND dein bester Freund beim Subnetting ist.
Wenn du im Dezimalsystem 9 und 1 addierst, entsteht ein Übertrag. Binär ist die Stelle schon nach der 1 voll. Bei AND kommt es dagegen darauf an, wo beide Eingaben eine 1 haben.
Addition: vier Regeln
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 1 = 0, Übertrag 1
1 + 1 + 1 (Übertrag) = 1, Übertrag 1
Schieben (Shift)
Links um 1 = mal 2, rechts um 1 = ganzzahlig durch 2. Was rechts rausfällt, ist weg. Links um 3 ist also mal 8.
Überlauf
Ein Register hat eine feste Breite. Ein 8-Bit-Register kann ohne Vorzeichen nur 0 bis 255 speichern. Ist die Summe größer, fällt das neunte Bit weg (die CPU setzt dabei das Carry-Flag). Im Register steht dann die Summe minus 256: 200 + 100 = 300 → 300 − 256 = 44. 300 rein, 44 raus. Beschwerden nimmt das Register nicht an.
Logische Verknüpfungen, Bit für Bit
| A | B | AND | OR | XOR | NOT A |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
Merkhilfe
- AND: nur 1, wenn beide 1 sind. Maskiert Bits weg.
- OR: 1, sobald mindestens eins 1 ist. Setzt Bits.
- XOR: 1, wenn beide verschieden sind. Kippt Bits.
- NOT: dreht jedes Bit um.
Wo das in der Praxis steckt
- Netzadresse = IP-Adresse AND Subnetzmaske
- Wildcard-Maske = NOT Subnetzmaske (255.255.255.0 → 0.0.0.255)
- RAID 5: Die Paritätsdaten sind das XOR der Datenblöcke
- Dateirechte und Flags werden mit OR gesetzt und mit AND geprüft
Negative Zahlen: das Zweierkomplement
Wie ein Computer ohne Minuszeichen trotzdem ins Minus kommt.
In einem 8-Bit-Muster ist kein Platz für ein getipptes Minus. Beim Zweierkomplement steckt das Vorzeichen deshalb im Muster selbst.
Ein Bitmuster hat kein Minuszeichen. Man muss also festlegen, wie negative Zahlen aussehen. Drei Ideen gab es, durchgesetzt hat sich das Zweierkomplement, weil die CPU damit Addition und Subtraktion mit demselben Addierwerk erledigen kann.
| Verfahren | So geht’s | −5 mit 8 Bit | Problem |
|---|---|---|---|
| Vorzeichen und Betrag | MSB = Vorzeichen, Rest = Betrag | 1000 0101 | Es gibt +0 und −0, Rechnen ist umständlich |
| Einerkomplement | Alle Bits invertieren | 1111 1010 | Ebenfalls zwei Nullen |
| Zweierkomplement | Invertieren und 1 addieren | 1111 1011 | Keins. Nur eine Null, Rechnen klappt direkt |
Hin: −45 als 8-Bit-Zweierkomplement
Zurück: Was bedeutet 1101 0011?
MSB ist 1, also negativ. Entweder wieder invertieren und 1 addieren (0010 1100 + 1 = 0010 1101 = 45, also −45), oder schneller: Das MSB zählt negativ.
Subtraktion ist Addition des Komplements
Wertebereich mit n Bit
−2ⁿ⁻¹ bis 2ⁿ⁻¹ − 1
8 Bit: −128 … 127
16 Bit: −32.768 … 32.767
32 Bit: −2.147.483.648 … 2.147.483.647
Die negative Seite hat eine Zahl mehr, weil die 0 bei den positiven mitzählt.
Ausblick: Kommazahlen
Gleitkommazahlen speichert der Rechner nach IEEE 754 als Vorzeichen, Exponent und Mantisse (32 Bit: 1 + 8 + 23 Bit). Darum ist 0,1 + 0,2 in vielen Programmiersprachen nicht exakt 0,3. Die Buchhaltung findet das weniger lustig. Für die Abschlussprüfung reicht meist, das Prinzip zu kennen.
Einheiten: kB, KiB und der Festplatten-Schwund
Warum deine neue 2-TB-Platte nach weniger aussieht und niemand dich betrogen hat.
Auf dem Karton stehen 2 TB, im Betriebssystem steht eine kleinere Zahl. Die Platte ist beim Auspacken nicht geschrumpft. Entscheidend ist, in welcher Einheit beide Seiten zählen.
b steht für Bit, B für Byte, und 1 Byte = 8 Bit. Für große Mengen gibt es zwei Präfix-Familien, und genau da passieren die meisten Fehler:
| SI (dezimal) | Faktor | IEC (binär) | Faktor | Unterschied |
|---|---|---|---|---|
| kB (Kilobyte) | 10³ = 1.000 | KiB (Kibibyte) | 2¹⁰ = 1.024 | 2,4 % |
| MB (Megabyte) | 10⁶ | MiB (Mebibyte) | 2²⁰ = 1.048.576 | 4,9 % |
| GB (Gigabyte) | 10⁹ | GiB (Gibibyte) | 2³⁰ = 1.073.741.824 | 7,4 % |
| TB (Terabyte) | 10¹² | TiB (Tebibyte) | 2⁴⁰ = 1.099.511.627.776 | 10,0 % |
Wer rechnet wie?
- Festplatten- und SSD-Hersteller: SI. 1 TB = 10¹² Byte.
- Datenraten (Mbit/s, Gbit/s): immer SI.
- Arbeitsspeicher: binär. „16 GB RAM“ sind eigentlich 16 GiB.
- Windows-Explorer: rechnet binär, beschriftet aber mit „GB“ und „TB“. Das ist der ganze Skandal.
- macOS (seit 10.6) zeigt Dezimalwerte an.
Der Festplatten-Schwund
Eine 2-TB-Platte hat 2 · 10¹² Byte.
Windows zeigt das als etwa „1,81 TB“ an. Es fehlt nichts, es wird nur anders gezählt. Der wütende Anruf beim Händler kann also entfallen.
So rechnest du sicher um
- Prüfe, ob beide Einheiten zur selben Familie gehören. Dann ist es nur ein Faktor 1.000 oder 1.024 pro Stufe.
- Bei gemischten Familien erst in Byte umrechnen, dann in die Zieleinheit.
- Bei Bit ↔ Byte mit 8 multiplizieren oder durch 8 teilen.
Datenrate und Übertragungszeit
„Wie lange dauert der Download?“ ist eine der Lieblingsfragen der Prüfung.
Die Datei ist in MB angegeben, der Tarif in Mbit/s. Vor dem Teilen bringst du beides auf dieselbe Einheit. Sonst ist der Download auf dem Papier achtmal schneller als am Schreibtisch.
Datenraten werden in Bit pro Sekunde angegeben, und ihre Präfixe sind immer dezimal: 1 Mbit/s = 1.000.000 bit/s. Dateigrößen stehen dagegen meist in Byte. Genau dieser Wechsel von Byte zu Bit ist die Stelle, an der Punkte verloren gehen.
Vier Schritte
- Datenmenge in Bit umrechnen (Byte × 8!).
- Datenrate in bit/s umrechnen.
- Teilen.
- Ergebnis in die verlangte Einheit bringen (Sekunden, Minuten, Stunden).
MB/s oder Mbit/s?
Browser und Kopierdialoge zeigen oft MB/s, Provider werben mit Mbit/s.
100 Mbit/s : 8 = 12,5 MB/s
1 Gbit/s : 8 = 125 MB/s
50 MB/s × 8 = 400 Mbit/s
Beispiel 1: SI-Einheiten
Beispiel 2: gemischte Einheiten
Speicherbedarf: Text, Bild, Audio, Video
Wie groß wird das? Immer dieselbe Idee: Anzahl × Bit pro Stück.
Ein unkomprimiertes Foto, eine Tonspur und ein Video sehen nach drei verschiedenen Aufgaben aus. Zähl zuerst, wie viele Einheiten du speicherst und wie viele Bits jede davon braucht.
Text und Zeichenkodierung
| Kodierung | Bit/Byte pro Zeichen | Umfang |
|---|---|---|
| ASCII | 7 Bit (gespeichert in 1 Byte) | 128 Zeichen, keine Umlaute |
| ISO 8859-1 (Latin-1) | 8 Bit = 1 Byte | 256 Zeichen, mit ä ö ü ß, ohne € |
| UTF-8 | 1 bis 4 Byte | Alle Unicode-Zeichen. ASCII-Zeichen 1 Byte, ä ö ü ß é 2 Byte, € 3 Byte, Emoji 4 Byte |
| UTF-16 | 2 oder 4 Byte | Alle Unicode-Zeichen, intern in Windows, Java und JavaScript |
Bilder (Rastergrafik, unkomprimiert)
| Farbtiefe | Farben (2ⁿ) | Bezeichnung |
|---|---|---|
| 1 bit | 2 | Schwarz-Weiß |
| 8 bit | 256 | Graustufen oder Palette (GIF) |
| 16 bit | 65.536 | High Color |
| 24 bit | 16.777.216 | True Color (8 Bit je R, G, B) |
| 32 bit | 16.777.216 + Transparenz | True Color mit 8-Bit-Alphakanal |
Beim Scannen ergibt sich die Pixelzahl aus Größe in Zoll × dpi (1 Zoll = 2,54 cm). Ein 4 × 6 Zoll großes Foto mit 300 dpi hat 1.200 × 1.800 Pixel.
Audio (PCM, unkomprimiert)
Video (unkomprimiert)
Über eine Gigabit-Leitung passt das schon nicht mehr. Darum wird Video praktisch immer komprimiert (H.264, H.265, AV1). Verlustfrei komprimieren ZIP, PNG oder FLAC, verlustbehaftet JPEG, MP3 oder H.264. Prüfungsaufgaben rechnen meist unkomprimiert, außer ein Kompressionsfaktor ist angegeben.
Spickzettel und typische Fallen
Die eine Seite, die du vor der Prüfung noch mal anschaust. Also die einzige, wenn wir ehrlich sind.
| Thema | Merke |
|---|---|
| n Bit | 2ⁿ Werte, 0 bis 2ⁿ − 1. Für N Zustände: kleinstes n mit 2ⁿ ≥ N |
| Binär → Dez | Stellenwerte 128 64 32 16 8 4 2 1, Einsen addieren |
| Dez → Binär | Subtraktion von groß nach klein oder Restwert ÷ 2, von unten lesen |
| Hex | 1 Hex-Ziffer = 4 Bit, A = 10 … F = 15, Gruppen von rechts |
| Oktal | 1 Ziffer = 3 Bit, chmod: r = 4, w = 2, x = 1 |
| Logik | AND maskiert, OR setzt, XOR kippt, NOT dreht alles |
| Zweierkomplement | Invertieren + 1. MSB zählt −2ⁿ⁻¹. 8 Bit: −128 … 127 |
| Einheiten | kB = 1.000 B, KiB = 1.024 B. Datenraten immer dezimal |
| Übertragung | Zeit = Bit : (bit/s). Byte × 8 nicht vergessen |
| Bild | Breite × Höhe × Farbtiefe : 8 = Byte |
| Audio | Abtastrate × Bit × Kanäle × Sekunden : 8 = Byte |
Die zehn beliebtesten Fehler
- Stellenwerte von links statt von rechts vergeben.
- Bei der Restwertmethode von oben nach unten gelesen.
- „Größte Zahl mit 8 Bit“ = 256 statt 255.
- Bei Binär → Hex die Vierergruppen links statt rechts begonnen.
- Beim Zweierkomplement die +1 vergessen (das ist dann Einerkomplement).
- Die Bitbreite beim Zweierkomplement ignoriert.
- kB und KiB gleichgesetzt.
- Byte und Bit verwechselt, besonders bei Datenraten.
- Minuten als Dezimalzahl gelesen (2,5 min ≠ 2 min 50 s).
- „Wie viele passen drauf?“ aufgerundet statt abgerundet.
Literatur und Quellen
Wer’s genau wissen will, liest hier weiter. Kontrolle ist besser als Vertrauen.
- IEC 80000-13: Größen und Einheiten, Teil 13: Informationswissenschaft und -technik. Definiert die Binärpräfixe Ki, Mi, Gi, Ti. International Electrotechnical Commission. webstore.iec.ch
- BIPM: Das Internationale Einheitensystem (SI-Broschüre), 9. Auflage 2019. SI-Präfixe sind Zehnerpotenzen und nicht für Zweierpotenzen gedacht. bipm.org
- RFC 3629: F. Yergeau, UTF-8, a transformation format of ISO 10646, 2003. rfc-editor.org
- The Unicode Standard, Unicode Consortium. unicode.org
- ANSI X3.4-1986 / ISO/IEC 646: 7-Bit-Zeichensatz ASCII.
- IEEE 754-2019: Standard for Floating-Point Arithmetic.
- Tanenbaum, A. S.; Austin, T.: Rechnerarchitektur (Structured Computer Organization), Pearson. Anhang zu Zahlensystemen und Zweierkomplement.
- Kersken, S.: IT-Handbuch für Fachinformatiker*innen, Rheinwerk Verlag, aktuelle Auflage.
- Elektronik-Kompendium: Dualsystem, Hexadezimalsystem, Zweierkomplement. elektronik-kompendium.de
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Welche Darstellung gehört zusammen?
Wähle für jede Zeile die passende Zahl. Zwei Antworten im Auswahlmenü sind Lockvögel.
Ernstfall. Ohne Netz und doppelten Boden.
Eine Probeprüfung im Stil der IHK: Aufgaben aus allen Themen, 30, 60 oder 90 Minuten, kein Hinweis, kein Nachschlagwerk. Du kannst zwischen den Aufgaben springen und Antworten ändern. Bewertet wird erst bei Abgabe, mit Note nach dem IHK-Punkteschlüssel und Auswertung pro Thema.
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Wer die Bits versteht, versteht auch Subnetting, IPv6 und jede Downloadzeit. Wenn der Lernpfad sitzt, zeig im Prüfungsmodus, was du kannst. Und wenn nicht: Die Baustellen warten schon auf dich.